無限の叫び声

再録です。おっ、数学ネタだ。

皆さんは無限というと、何を連想します？ 無限の可能性とか 無限に広がる宇宙 とか（あと、状況がよっては Scrib Spiritで無限ダメージをぶち込める無限の叫び声とか）、とかく抽象的な概念として扱われますが、これを論理的なものとして扱うと、なかなかおもしろいんですよ。

なになにが無限である をどう定義するかというと、これは意外と簡単。数を数えていって,あるところで、番号を振りおわるものが有限、でいつまでたっても終わらないのが無限。そうなると前述の可能性とか宇宙とかって、ほんとに無限なの？とかんぐりたくなりますが（星の数ほどといいますが、高々有限です）、それはおいといて。

かぞえられない無限にも種類があるということをご存知でしょうか？これを業界(*1)では 可算な無限と非可算な無限 と呼んでおります。

可算とは、1個1個に１、２、３、４と番号を振っていくことができるもの。一番わかりやすいのが自然数(１、２、３、４、...) 。ようは自然数と1個1個が握手できるようなもんと考えてください（自然数自体は自分たちと握手するので、当然ＯＫですね）。

じゃあ、他のどんな奴が可算なんだといえば、まず自然数に０を加えた集合（ああもうまわりくどい言い方がめんどくさくなってきた(*2）は、あいも変わらず自然数と握手できるのです。ためしにやってみましょうか。

０と１、１と２、２と３、３と４、。。。以下 +1した自然数と握手

自然数に０を加えた集合、実は自然数と一緒なのです。なんと、ちゃんと全員が握手できる。おんなじ論法で整数（自然数に０とマイナスの数を足したもの）との握手も可能です。

０と１、１と２、－１と３、２と４、－２と５、３と６、。。。以下元の数がプラスの数なら2倍した数と、マイナスの数なら（０も便宜上、こっち側にしときます）マイナスをとって2倍して１をたしたものと握手する。

ちょっと、いんちき臭いのですが、こんなことで驚いてはいけません。なんと有理数（整数に分数を加えたもの）との握手だってできるのです。ここまでくると、とおり一辺倒な方法では限界があるんで、突如 対角線論法 という必殺技が出てきます。

分数の形式は ｎ／ｍという形をとるので、これをｎを縦軸、ｍを横軸にしておくと

１/１ １/２ １/３ １/４ １/５ .......
２/１ ２/２ ２/３ ２/４ ２/５ .......
３/１ ３/２ ３/３ ３/４ ３/５ ......
４/１ ４/２ ４/３ ４/４ ４/５ .....
５/１ ５/２ ５/３ ５/４ ５/５ .....
　 　 　 　 　 　

という感じで、２次元にならべられるんですが（整数が１/１とか２/１のようなｎ/１の列にあることに注目。1/1と2/2は同じじゃないかという突っ込みはごもっとも。実は可算なものにふくまれるとき［上の表は有理数より大きいものになっている〕、同じく可算なのです。この件については面倒なので省略）、これに対し、自然数を以下の順序で握手させます。

１－> １/１、 ２－> １/２、 ３ー> ２/１、 ４ー> ３/１、 ５ー> ２/２、６ー> １/３、 ７ー> １/４、 ８ー> ２/３、 ９ー> ３/２、 １０ー> ４/１、....

1/1－ 1/2 1/3 － 1/4 1/5
／ ／ ／ ／ |
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5
| ／ ／ ／ ／
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5
／ ／ ／
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5
| ／ ／
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5
あーら不思議、みごと握手が完成しました。

.こうなると、なんだむげんってーのは全部可算なんだなってきがしますが、それじゃあ、最初に振っておいた非可算ってなにという事になるんだけど、こっちも身近にちゃんとあります。非可算な集合とは読んで字のごとく、可算じゃない集合のことです（可算、非可算は無限集合の概念なので、もちろん非可算は無限集合）。整数、有理数とくればおわかりですね、そう実数(*3)は可算じゃないんです。

で、可算じゃない証明は？ というところで、今回紙面が尽きてしまいました（笑)。その話はまた次回(*4)。

続く

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*1) 数学屋の代数屋業界(せまい業界だ...）。

*2) ようは物のあつまりの事なんですが、きっちりと入っている、入ってないがわかるもの。『背の高い人』は集合ではないが 『身長180ｃｍ以上の人』は集合。同様に『美人』は集合じゃないが、『ミスコンで優勝したことがある』は集合（これが同時に美人の称号を得られない場合もあるのが摩訶不思議)。

*3) 一般にいわれている 数 というのはこの実数のことです。数直線上にあるすべてのものをさし、有理数＋分数で表せないもの（無理数）になります。無理数として有名なのがルート２とか円周率のπとか。

*4) 実は証明の方法をすっかり忘れてしまいました。資料をあつめてきて再度、でなおします(_ _)

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